Capacitores

Capacitor é um dos três elementos passivos mais importantes de circuitos elétricos, sendo eles resistores, capacitores e indutores.

Neste post vemos as principais características dos capacitores, como a construção de um capacitor, a relação de tensão por corrente, a energia armazenada e outras.

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Construção de um capacitor

Um capacitor é um elemento passivo de circuito elétrico capaz de armazenar energia em campo elétrico. É construído a partir de duas superfícies metálicas separadas por um material dielétrico (isolante).

Quando aplicada uma tensão v entre as placas do capacitor uma certa carga q é armazenada em cada uma das placas, onde uma das placas acumula carga positiva +q e a outra carga negativa -q. Essa carga é proporcional a tensão aplicada, sendo a capacitância C a constante de proporcionalidade. A capacitância medida com a unidade farad [F], que é igual coulomb/volt [C/V].

q = Cv

A capacitância possui uma forte dependência na geometria do capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, como mostrado na figura acima, a capacitância é proporcional a área A das placas metálicas e inversamente proporcional a distância entre as placas, sendo a constante de proporcionalidade igual à permissividade elétrica ε do material dielétrico que isola as placas.

C = εA/d

Corrente e tensão em um capacitor

Acima temos a equação da relação entre carga q e tensão v aplicada a um capacitor. Para solução de circuitos elétricos estamos interessados em tensões e correntes, não em carga elétrica.

No entanto, a corrente elétrica i está relacionada com a carga elétrica q, pois a corrente é o fluxo de cargas, ou seja, a corrente é a taxa de variação (derivada) da carga.

i = dq/dt

Dessa forma, para obtermos a corrente i em um capacitor, basta derivar a carga q no capacitor, que depende da tensão v aplicada.

i = dq/dt = d(Cv)/dt

i = C dv/dt

Assim podemos calcular a corrente elétrica de um capacitor a partir da tensão aplicada nele.

Podemos ainda integrar esta equação e obter uma equação que calcula a tensão em um capacitor a partir da corrente elétrica que o atravessa.

v = (1/C) ∫_-∞^t i dt

Veja que utilizamos uma integral definida com limite inferior sendo infinito negativo e com limite superior até o tempo de interesse, supondo que i(-∞)=0.

Para não precisarmos fazer esta suposição basta considerar um instante t₀ no qual conhecemos a tensão v(t₀), de forma que v(t₀)=(1/C) ∫_-∞^t0 i dt.

v = (1/C) ∫_t0^t i dt + v(t₀)

Energia em um capacitor

Ao contrário dos resistores, capacitores não dissipam energia. Enquanto é carregado o capacitor armazena energia em seu campo elétrico (sem dissipar ela), sendo liberada a energia quando é descarregado.

É sabido que a energia W é a integral no tempo da potência p. Assim, para obtermos a energia total devemos integrar com limite inferior infinito negativo e com limite superior sendo o tempo de interesse. Para elementos elétricos a potência é igual ao produto da tensão elétrica v pela corrente elétrica i.

W = ∫_-∞^t p dt = ∫_-∞^t vi dt = ∫_-∞^t v(C dv/dt) dt

Podemos ainda substituir a corrente i pela equação da corrente no capacitor i=C dv/dt. Note o cancelamento dos diferenciais dt, fazendo transformando uma integral no tempo t em uma integral na tensão v. Isso exige uma mudança nos limites de integração, que deixam de ser no tempo e passam a ser na tensão.

O limite inferior da integral no tempo t₀=-∞ deve ser trocado pelo valor da tensão nesse instante, ou seja, v₀=v(-∞). Consideramos que no instante t₀=-∞ a tensão seja nula v₀=v(-∞)=0. O limite superior da integral no tempo t₁=t deve ser trocado pelo valor da tensão nesse instante, ou seja, v₁=v. Dessa forma, a integral no tempo de -∞ até t é transformada em uma integral na tensão de 0 a v.

W = C ∫₀^v v dv

Resolvendo a integral e aplicando os limites de integração obtemos que a energia armazenada no capacitor é proporcional ao quadrado da tensão aplicada nele, sendo a constante de proporcionalidade C/2 (metade da capacitância).

W = Cv²/2

Podemos ainda substituir v=q/C na equação acima e obter uma equação que calcula a energia armazenada no capacitor a partir da carga em suas placas.

W = q²/2C

Características dos capacitores

1. Para corrente contínua um capacitor é um circuito aberto, ou seja, a corrente que atravessa ele é nula. Podemos ver isso pela equação i=C dv/dt. Como a tensão não varia em um circuito CC a corrente é nula.
2. A tensão em um capacitor não pode variar bruscamente. Podemos ver isso pela equação v=(1/C) ∫_-∞^t i dt. Para ocorrer uma variação brusca na tensão é necessário uma corrente infinita, o que é impossível.
3. Capacitores ideais não dissipam energia, apenas armazenam energia quando são carregados e liberam essa energia quando são descarregados.
4. Capacitores reais possuem uma alta resistência em paralelo com a capacitância, que causa seu descarregamento e dissipa de energia.

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