Concurso: Polos de sistema de tempo contínuo

Esta questão vem do NC-UFPR, Concurso da Itaipu para Engenharia Elétrica em 2019.

Pelo enunciado desta questão parece ser necessário utilizar algum critério de estabilidade para determinar o número de polos em cada lado do plano complexo. Mas podemos resolver a questão de forma muito mais fácil e rápida.

Questão

(Adaptado) 16 – Durante a análise de um projeto de sistema de controle com realimentação [negativa unitária], foi apresentado o diagrama da figura abaixo.

R(s)+   +------+   C(s)
o-->O---| G(s) |---o-->
    ^   +------+   |
    |-             |
    o--------------o

G(s) = 1/[s(2s4 + 3s3 + 2s2 + 3s + 2)]

Com base nas informações dessa figura, é correto afirmar que o sistema é:

a) instável, com três polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita.

b) estável, com três polos no semiplano da direita e da esquerda.

c) instável, com um polo no semiplano da esquerda e três polos no semiplano da direita.

d) estável, com dois polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita.

e) instável, com cinco polos no semiplano da esquerda e quatro polos no semiplano da direita.

Forma padrão de resolver

Primeiro determinamos a função de transferência de malha fechada. Como temos realimentação negativa unitária H(s) = 1.

C(s)/R(s) = G(s)/[1+G(s)H(s)] = 1/(2s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 1)

O sistema é de grau 5 e temos 5 polos de malha fechada.

Sabendo a localização dos polos é fácil saber quais estão no semiplano esquerdo ou direito.

Mas quando não se tem os polos do sistema, o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz é o mais simples de se fazer na mão. Podemos aplicar ele no polinômio característico 2s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 1.

+  s5  2      2      2
+  s4  3      3      1
+  s3  ε≈0+   4/3
-  s2  3-4/ε  1
+  s1  4/3
+  s0  1

Como limε→0+ (3-4/ε)=-∞, temos que o sinal muda nas linhas s2 e s1. Portanto há dois polos no semiplano direito.

Então temos cinco polos, dois instáveis (no semiplano direito) e três estáveis (no semiplano esquerdo).

Portanto a alternativa correta é a) instável, com três polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita.

Comentários:

  • Não apenas o critério de Routh-Hurwitz é trabalhoso, este sistema ainda gera um zero em uma das colunas, que é substituído por ε≈0+. O que gera uma dificuldade adicional.
  • Utilizando MATLAB/OCTAVE podemos determinar os polos rapidamente utilizando a função roots(): roots([2 3 2 3 2 1]).

Forma rápida de resolver

Em primeiro lugar, as alternativas b), d) identificam o sistema como estável quando possui polos no semiplano direito. Estão descartadas.

Como G(s) tem grau 5 e H(s)=1, temos um total de 5 polos de malha fechada.

C(s)/R(s) = G(s)/[1+G(s)H(s)] = 1/(2s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 1)

Pela função de transferência de malha fechada podemos verificar que não há polos na origem, nem no eixo imaginário. Sabe como? Nenhum termo do polinômio denominador está faltando.

Dessa forma, a resposta correta deve somar um total de 5 polos, estejam eles no semiplano esquerdo ou direito.

Assim, as alternativas c), e) estão descartadas, pois somam outros números de polos.

Portanto a alternativa correta é a) instável, com três polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita.

Comentários:

  • Nesta questão basta contar o número de polos de cada resposta.
  • Um enunciado muito mais claro e óbvio seria: Quantos polos há no sistema da figura? Com números nas respostas.

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Autor: Djones Boni

Engenheiro Eletricista.

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