Esta questão vem do NC-UFPR, Concurso da Itaipu para Engenharia Elétrica em 2019.
Pelo enunciado desta questão parece ser necessário utilizar algum critério de estabilidade para determinar o número de polos em cada lado do plano complexo. Mas podemos resolver a questão de forma muito mais fácil e rápida.
Questão
(Adaptado) 16 – Durante a análise de um projeto de sistema de controle com realimentação [negativa unitária], foi apresentado o diagrama da figura abaixo.
R(s)+ +------+ C(s)
o-->O---| G(s) |---o-->
^ +------+ |
|- |
o--------------o
G(s) = 1/[s(2s4 + 3s3 + 2s2 + 3s + 2)]
Com base nas informações dessa figura, é correto afirmar que o sistema é:
a) instável, com três polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita.
b) estável, com três polos no semiplano da direita e da esquerda.
c) instável, com um polo no semiplano da esquerda e três polos no semiplano da direita.
d) estável, com dois polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita.
e) instável, com cinco polos no semiplano da esquerda e quatro polos no semiplano da direita.
Forma padrão de resolver
Primeiro determinamos a função de transferência de malha fechada. Como temos realimentação negativa unitária H(s) = 1.
C(s)/R(s) = G(s)/[1+G(s)H(s)] = 1/(2s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 1)
O sistema é de grau 5 e temos 5 polos de malha fechada.
Sabendo a localização dos polos é fácil saber quais estão no semiplano esquerdo ou direito.
Mas quando não se tem os polos do sistema, o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz é o mais simples de se fazer na mão. Podemos aplicar ele no polinômio característico 2s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 1.
+ s5 2 2 2 + s4 3 3 1 + s3 ε≈0+ 4/3 - s2 3-4/ε 1 + s1 4/3 + s0 1
Como limε→0+ (3-4/ε)=-∞, temos que o sinal muda nas linhas s2 e s1. Portanto há dois polos no semiplano direito.
Então temos cinco polos, dois instáveis (no semiplano direito) e três estáveis (no semiplano esquerdo).
Portanto a alternativa correta é a) instável, com três polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita.
Comentários:
- Não apenas o critério de Routh-Hurwitz é trabalhoso, este sistema ainda gera um zero em uma das colunas, que é substituído por ε≈0+. O que gera uma dificuldade adicional.
- Utilizando MATLAB/OCTAVE podemos determinar os polos rapidamente utilizando a função roots(): roots([2 3 2 3 2 1]).
Forma rápida de resolver
Em primeiro lugar, as alternativas b), d) identificam o sistema como estável quando possui polos no semiplano direito. Estão descartadas.
Como G(s) tem grau 5 e H(s)=1, temos um total de 5 polos de malha fechada.
C(s)/R(s) = G(s)/[1+G(s)H(s)] = 1/(2s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 1)
Pela função de transferência de malha fechada podemos verificar que não há polos na origem, nem no eixo imaginário. Sabe como? Nenhum termo do polinômio denominador está faltando.
Dessa forma, a resposta correta deve somar um total de 5 polos, estejam eles no semiplano esquerdo ou direito.
Assim, as alternativas c), e) estão descartadas, pois somam outros números de polos.
Portanto a alternativa correta é a) instável, com três polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita.
Comentários:
- Nesta questão basta contar o número de polos de cada resposta.
- Um enunciado muito mais claro e óbvio seria: Quantos polos há no sistema da figura? Com números nas respostas.
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