Resposta natural do circuito RL

A resposta natural de um circuito RL é a resposta às condições iniciais, sem que haja uma fonte de alimentação no circuito.

Veremos como determinar a equação diferencial que representa o circuito RL sem fonte e, a partir dela, obter a resposta natural.

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Resposta natural do um circuito RL

A resposta natural de um circuito é a resposta a suas condições iniciais, sem a existência de fontes no circuito.

Para determinar a resposta natural de um circuito RL basta encontrar duas informações:

1. A corrente inicial do indutor i(0)=I₀; e
2. A constante de tempo τ=L/R.

A resposta natural do circuito RL, para t>0, será a seguinte.

i(t) = I₀e^-t/τ

Determinando a equação diferencial

Vejamos agora como determinar a equação diferencial do circuito RL sem fonte e em seguida como resolver ela.

Do circuito RL acima, estamos interessados na corrente i(t), que é a variável comum entre o indutor e o resistor.

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões obtemos que a soma da tensão no indutor e do resistor é nula.

v_L – v_R = 0

A partir da Lei de Ohm e da equação de tensão do indutor obtemos as tensões em função da corrente i(t).

v_R = Ri

v_L = L di/dt

Substituindo na equação anterior obtemos o seguinte, que é a equação diferencial deste circuito.

L di/dt + Ri = 0

di/dt + iR/L = 0

Resolvendo a equação diferencial

Isolando o termo derivativo da equação diferencial podemos ver que, para satisfazer a equação diferencial, a derivada de i(t) deve ser proporcional a própria função i(t).

di/dt = –iR/L

Portanto, i(t) deve ser uma exponencial, que é o único tipo de função com esta característica. Fazendo uma função exponencial i(t)=Ae^bt e substituindo na equação diferencial obtemos o seguinte.

bAe^bt + Ae^btR/L = 0

Podemos cancelar Ae^bt e concluímos que b = –R/L.

Analisando i(t) no instante t=0, podemos ver a constante A=i(0) é a condição inicial do circuito.

Chamaremos o valor τ=L/R a constante de tempo do circuito e I₀=i(0) a condição inicial, obtemos a seguinte solução para a equação diferencial do circuito RL sem fontes, a resposta natural.

i(t) = I₀e^-t/τ

Note que esta resposta é válida apenas para t>0, pois não consideramos como o circuito chegou até a condição i(0)=I₀.

Como gerar uma condição inicial

Agora vejamos como criar uma condição inicial específica em um circuito RL.

Para isso, basta ligar uma fonte de corrente com amplitude I₀ em paralelo com o indutor e o resistor, de forma que produza corrente I₀ no indutor L, e no instante t=0 desligar a fonte de corrente do circuito.

Até o instante t=0 o circuito é um circuito CC normal, onde o indutor se comporta como um curto-circuito. No instante t=0 a chave abre e ocorre a resposta natural do circuito.

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