Resposta natural do circuito RC

A resposta natural de um circuito RC é a resposta às condições iniciais, sem que haja uma fonte de alimentação no circuito.

Veremos como determinar a equação diferencial que representa o circuito RC sem fonte e, a partir dela, obter a resposta natural.

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Resposta natural do um circuito RC

A resposta natural de um circuito é a resposta a suas condições iniciais, sem a existência de fontes no circuito.

Para determinar a resposta natural de um circuito RC basta encontrar duas informações:

1. A tensão inicial do capacitor V₀=v(0); e
2. A constante de tempo τ=RC.

A resposta natural do circuito RC, para t>0, será a seguinte.

v(t) = V₀e^-t/τ

Determinando a equação diferencial

Vejamos agora como determinar a equação diferencial do circuito RC sem fonte e em seguida como resolver ela.

Do circuito RC acima, estamos interessados na tensão v(t), que é a variável comum entre o capacitor e o resistor.

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes obtemos que a soma da corrente no capacitor e no resistor é nula.

i_C + i_R = 0

A partir da Lei de Ohm e da equação de corrente do capacitor obtemos as correntes em função da tensão v(t).

i_R = v/R

i_C = C dv/dt

Substituindo na equação anterior obtemos o seguinte, que é a equação diferencial deste circuito.

C dv/dt + v/R = 0

dv/dt + v/RC = 0

Resolvendo a equação diferencial

Isolando o termo derivativo da equação diferencial podemos ver que, para satisfazer a equação diferencial, a derivada de v(t) deve ser proporcional a própria função v(t).

dv/dt = –v/RC

Portanto, v(t) deve ser uma exponencial, que é o único tipo de função com esta característica. Fazendo uma função exponencial v(t)=Ae^bt e substituindo na equação diferencial obtemos o seguinte.

bAe^bt + Ae^bt/RC = 0

Podemos cancelar Ae^bt e concluímos que b = –1/RC.

Analisando v(t) no instante t=0, podemos ver a constante A=v(0) é a condição inicial do circuito.

Chamaremos o valor τ=RC a constante de tempo do circuito e V₀=v(0) a condição inicial, obtemos a seguinte solução para a equação diferencial do circuito RC sem fontes, a resposta natural.

v(t) = V₀e^-t/τ

Note que esta resposta é válida apenas para t>0, pois não consideramos como o circuito chegou até a condição v(0)=V₀.

Como gerar uma condição inicial

Agora vejamos como criar uma condição inicial específica em um circuito RC.

Para isso, basta ligar uma fonte de corrente com amplitude I₀=V₀/R em paralelo com o capacitor e o resistor, de forma que produza tensão V₀ no resistor R, e no instante t=0 desligar a fonte de corrente do circuito.

Até o instante t=0 o circuito é um circuito CC normal, onde o capacitor se comporta como um circuito aberto. No instante t=0 a chave abre e ocorre a resposta natural do circuito.

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