Funções singulares são funções que são descontínuas ou tem derivadas descontínuas.
Estas funções são muito úteis para realizar análise matemática de circuitos elétricos e são frequentemente utilizadas em conjunto com outras funções para formar funções mais complexas.
A seguir vemos as funções singulares mais importantes: degrau, impulso, rampa.
Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.
Degrau unitário
Degrau unitário u(t) é um sinal que muda de nível abruptamente, passando do nível 0 para o nível 1 no instante t=0.
u(t) =
{ 0, t<0
{ 1, t>0
O degrau serve para modelar sinais que mudam bruscamente, como uma chave fechando.
Atrasando e adiantando o degrau unitário
Através de uma troca de variável podemos atrasar ou adiantar o degrau unitário. Para isso trocamos t por t–t0 para atrasar ou por t+t0 para adiantar.
Para atrasar o degrau o tempo t0, basta subtrair o tempo t0 na função. O degrau, mudança de nível, vai atrasar e acontecer no instante t=t0.
u(t–t0) =
{ 0, t<t0
{ 1, t>t0
Para adiantar o degrau o tempo t0, basta somar o tempo t0 na função. O degrau, mudança de nível, vai adiantar e acontecer no instante t=–t0.
u(t+t0) =
{ 0, t<–t0
{ 1, t>–t0
Invertendo o degrau unitário no tempo
Com outra troca de variável podemos inverter o degrau unitário no tempo, fazendo o valor mudar de um para zero no instante t=0. Fazemos isso substituindo t por –t na função, fazendo u(–t). No entanto, esta função é equivalente a 1–u(t).
u(–t) = 1–u(t)
{ 1, t<0
{ 0, t>0
Impulso unitário
Impulso unitário δ(t) é um sinal instantâneo, de amplitude infinita e duração infinitesimal que ocorre no instante t=0. O impulso unitário δ(t) pode ser definido como a derivada do degrau unitário u(t).
δ(t) = du(t)/dt =
{ 0, t<0
{ +∞, t=0
{ 0, t>0
Pela definição do impulso como a derivada do degrau, podemos dizer que a integral do impulso unitário é a unidade. Isso é válido tanto para a integral de menos infinito a mais infinito quanto para a integral de logo antes de zero até logo depois de zero.
∫–∞+∞ δ(t) dt = ∫0–0+ δ(t) dt = 1
O impulso serve para modelar sinais impulsivos rápidos, como uma descarga atmosférica (raio).
O impulso pode ser utilizado para instantaneamente inserir uma condição inicial em um circuito.
Assim como o degrau, o impulso também pode ser atrasado ou adiantado pela mesma mudança de variável.
Rampa unitária
Rampa unitária r(t) é um sinal que varia uniformemente a partir do instante t=0, sendo zero antes disso. A rampa unitária r(t) pode ser definida como a integral do degrau unitário u(t).
r(t) = ∫–∞t u(t) dt =
{ 0, t<0
{ t, t≥0
O impulso serve para modelar sinais que variam uniformemente, como o deslocamento de um motor com velocidade constante.
Assim como o degrau, a rampa também pode ser atrasada ou adiantada pela mesma mudança de variável. A rampa pode também ser invertida no tempo, gerando uma função que decresce uniformemente desde o tempo menos infinito até zero, a partir de onde seu valor é zero.
r(-t) =
{ -t, t≤0
{ 0, t>0
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