Concurso: Linearização de modelo

Esta questão vem do NC-UFPR, Concurso da Itaipu para Engenharia Elétrica em 2019.

Na verdade, esta é uma questão mais de matemática do que de engenharia. Mas a linearização de modelos matemáticos é uma técnica muito importante na engenharia. A linearização do modelo ajuda a resolver problemas na região próxima ao ponto de linearização através de álgebra linear.

Questão

46 – Uma das etapas de um projeto de engenharia é a fixação de um sensor em uma represa. Para tanto, foi realizada a modelagem da represa, sendo necessário, como parte do projeto, determinar a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície z=(1/2)√(24-x²-2y²) com o plano y=2, no ponto (2,2,√3). Levando em consideração os dados apresentados, assinale a alternativa que apresenta corretamente a inclinação da reta tangente.

a) 1/(2√3).

b) -1/(2√3).

c) -2/√3.

d) 2/√3.

e) -(√3)/2.

Solução

O enunciado desta questão é um tanto complicado. Vamos dividir ele em partes:

1. Queremos determinar a inclinação da reta tangente a curva…
2. A curva é a intersecção da superfície z=(1/2)√(24-x²-2y²) com o plano y=2…
3. Nos interessa a inclinação da reta tangente no ponto (x,y,z)=(2,2,√3).

Começamos com o segundo ponto: a curva de interseção entre as duas superfícies.

Temos duas superfícies, das quais uma é um plano, e queremos determinar intersecção das duas superfícies. A intersecção de duas superfícies são os pontos que ao mesmo tempo fazem parte de ambas as superfícies.

Como analogia consideremos quando trabalhamos no plano: se queremos saber o valor de x onde duas retas se intersectam (se encontram) basta igualar as equações de y das duas retas. De forma equivalente, podemos isolar o y em uma reta e substituir na equação da outra reta para determinar o valor de x onde são iguais.

O mesmo vale para intersecções de superfícies. Isolamos a equação de uma superfície e substituímos na outra. A forma mais fácil de fazer isso é usar a equação do plano y=2 e substituir na equação da outra superfície. De onde obtemos a equação da curva de intersecção das duas superfícies.

z = (1/2)√(24-x²-2×2²) = (1/2)√(16-x²)

Agora vamos para o primeiro ponto: a inclinação da reta tangente a curva.

Para determinar a inclinação da reta tangente basta determinar a derivada da equação da curva. Como z é uma função composta de x devemos utilizar a regra da cadeia para determinar a derivada.

z = (1/2)√(16-x²) = (1/2)(16-x²)^1/2

dz/dx = (1/2) (1/2)(16-x²)^-1/2 (-2x) = (x/2)(16-x²)^-1/2

dz/dx = (-x/2)/√(16-x²)

Agora o terceiro ponto: devemos determinar a inclinação da reta tangente no ponto (2,2,√3).

Basta substituir o valor x=2 na equação da inclinação.

dz/dx = (-2/2)/√(16-2²) = -1/(√12) = -1/(2√3)

Portanto, a alternativa correta é b) -1/(2√3).

Comentários:

• Podemos ver que o ponto de interesse faz parte do plano y=2, bem pois y=2.
• Podemos ver que o ponto de interesse faz parte da superfície pois substituindo x=2, y=2, obtemos exatamente z=√3.
• O problema é relativamente simples.
• A parte mais complicada é desmembrar o enunciado em partes menores, de forma que possamos entender cada passo necessário para a solução.

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