Esta questão vem do NC-UFPR, Concurso da Itaipu para Engenharia Eletrônica em 2019.
Questão interessante sobre simplificação booleana.
Veremos três formas de realizar a simplificação: através de álgebra e através da criação da tabela verdade e através do mapa de Karnaugh.
Note que estamos utilizando ‘ (aspas simples) para identificar a operação de complementar, ou seja, x’ = NOT x.
Questão
(Adaptado) 38 – Um engenheiro precisa implementar um circuito lógico para a expressão x = (A’+B)(A+B+D)D’. O objetivo da equipe de projeto é criar um circuito otimizado e de baixo custo. Para o alcance deste objetivo, uma das etapas do projeto envolve a simplificação da expressão algébrica apresentada. Levando em consideração esses dados, assinale a alternativa com a expressão algébrica simplificada de x.
a) x = (A’+B)+D.
b) x = (A’+B)D’.
c) x = BD’.
d) x = D’.
e) x = (A+D)’.
Simplificação por álgebra
Vamos iniciar com a expressão original.
x = (A’+B)(A+B+D)D’
Quando termos vários termos com mesmas variáveis podemos realizar simplificações na maioria dos casos. Outros casos onde geralmente podemos simplificar são operações com constantes (ex: x+1=1) e termos com mesma variável repetida (ex: x+x’=1).
Vamos comparar o que há em cada termo.
O primeiro termo tem A e B. O segundo termo tem A, B e D. O terceiro termo tem apenas D.
Vamos primeiro expandir o segundo e terceiro termos utilizando a propriedade distributiva da álgebra boolenana: (x+y)z = xz+yz.
x = (A’+B)(AD’+BD’+DD’)
Temos a propriedade DD’=0 então podemos remover ele da expressão. Novamente utilizamos a propriedade distributiva, mas dessa vez para extrair o termo D’.
x = (A’+B)(AD’+BD’) = (A’+B)(A+B)D’
Agora temos apenas um termo com a variável D. Vamos agora expandir o primeiro e o segundo termo desta última equação.
x = (A’A+A’B+BA+BB)D’
Temos as propriedades A’A=0 e BB=B, que podemos simplificar.
x = (A’B+BA+B)D’
Novamente podemos utilizar a propriedade distributiva, agora para extrair B.
x = (A’+A+1)BD’
Podemos agora simplificar A’+A+1=1.
x = BD’
Agora cada termo possui variáveis distintas e não há mais o que simplificar.
Portanto, a alternativa correta é c) x = BD’.
Comentários:
- Várias propriedades da álgebra booleana foram utilizadas para simplificar esta expressão.
- A explicação é relativamente grande, mas se escrevermos apenas as equações podemos ver que é fácil e rápido.
- Caso o problema seja mais complexo e não conseguiu realizar alguma simplificação construa a tabela verdade.
Simplificação pela tabela verdade
Suponhamos que a expressão é bem complicada e chegou a um ponto que não sabe mais se é possível simplificar. Então vamos montar a tabela verdade.
Para simplificar vamos dividir o problema em quatro partes, calculando primeiro três variáveis intermediárias:
U = A’+B
V = A+B+D
W = D’
x = (A’+B)(A+B+D)D’ = UVW
Cada parte é fácil de determinar. Vejamos a tabela verdade montada abaixo.
U= V= W= x= A B D A'+B A+B+D D' UVW ------------------------ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
As vezes é fácil ver um padrão na tabela verdade. Isso depende da ordem em que colocamos as variáveis de entrada. Note que sequência da tabela verdade de x é a mesma para A=0 e para A=1. Isso indica que A não influencia no resultado.
Vamos remover A da tabela verdade, junto com as variáveis intermediárias.
B D x ------ 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0
Agora vemos que a saída é 1 apenas quando B=1 e D=0. Assim podemos determinar x facilmente.
x = BD’
Portanto, a alternativa correta é c) x = BD’.
Comentários:
- Ver o padrão na tabela verdade é mais fácil dependendo da ordem em que as variáveis aparecem.
- Caso não haja padrão algum ou não o veja, construir a tabela verdade é um passo intermediário para construir o mapa de Karnaugh.
Simplificação por mapa de Karnaugh
O mapa de Karnaugh é o último passo para a simplificação de uma expressão booleana. Com ele é possível determinar a expressão mínima.
x = (A’+B)(A+B+D)D’
A partir da expressão booleana montamos a tabela veradde.
A B D x -------- 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
Agora construímos o mapa de Karnugh a partir da tabela verdade.
No mapa de Karnaugh a sequência em que as entradas são invertidas é importante! As entradas devem ser invertidas de acordo com o código de Gray: 00 01 11 10. Veja a sequência das variáveis A e B.
A linha 1 e coluna 2 (A’B’ e D) identifica o valor da tabela verdade quando A=0, B=0 e D=1, que é 0.
A linha 2 e coluna 1 (A’B e D’) identifica o valor da tabela verdade quando A=0, B=1 e D=0, que é 1.
E assim por diante.
x | D' D ------------ A'B' | 0 0 A'B | 1 0 A B | 1 0 A B' | 0 0
Podemos ver que há um par de uns (1) juntos. Isso remove uma variável ambígua, que no caso é A. Já podemos visualmente determinar qual a expressão mínima.
x = BD’
Podemos também realizar a soma de produtos, onde podemos facilmente ver a simplificação da variável ambígua A.
x = A’BD’ + ABD’ = (A’+A)BD’ = BD’
Comentários:
- Nesse tipo de problema, no pior dos casos será necessário criar o mapa de Karnaugh.
- Com o mapa de Karnaugh é fácil determinar a expressão mínima.
- No mapa é essencial colocar as entradas na sequência correta e obter o valor certo da tabela verdade.
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