Concurso: Perdas em linha de transmissão

Esta questão vem do NC-UFPR, Concurso da Itaipu para Engenharia Elétrica em 2019.

É uma questão técnica de engenharia elétrica, mas escrita em inglês, para avaliar tanto o inglês quanto o conhecimento técnico do candidato.

A princípio parece que nos exige um cálculo absurdo, mas podemos contornar este cálculo de uma maneira muito interessante.

Questão

(Inglês, original) 12 – A transmitter and receiver are connected using a cascaded pair of transmission lines. At the operating frequency, line 1 has a measured loss of 0.1 dB/m, and line 2 is rated at 0.2 dB/m. The link is composed of 40 m of line 1 joined to 25 m of line 2. At the joint, a splice loss of 2 dB is measured. If the transmitted power is 100 mW, what is the received power?

(Português, tradução livre) 12 – Transmissor e receptor estão conectados usando duas linhas de transmissão em série. Na frequência de operação a linha 1 tem perdas de 0.1 dB/m e a linha 2 tem perdas de 0.2 dB/m. A ligação é composta por 40 m da linha 1 e 25 m da linha 2. Na emenda das linhas foi medida uma perda de 2 dB. Quando for transmitido um sinal com potência de 100 mW, qual será a potência recebida?

a) 1.8 mW

b) 3.7 mW

c) 5.6 mW

d) 7.9 mW

e) 9.3 mW

Forma padrão de resolver

A linha 1 apresenta perda de (0.1 dB/m)(40 m) = 4 dB

A emenda apresenta perda de 2 dB.

A linha 2 apresenta perda de (0.2 dB/m)(25 m) = 5 dB.

Isso dá uma perda total de 11 dB.

Relembrando a equação para o cálculo de decibéis. Decibéis sempre relaciona duas potências (recebida e transmitida). Tiramos o logaritmo de base 10 da razão entre as potências para termos o valor em B (béis). Multiplicamos isso por 10 para termos dB (decibéis), ou seja, 10 dB = 1 B.

GanhodB = 10 log10(Precebida/Ptranmitida)

Estamos tratando de perdas, então os 11 dB são negativos.

-11 = 10 log10(Precebida/Ptranmitida)

Dividindo ambos os lados por 10 e elevando tudo na base 10.

10-1.1 = Precebida/Ptranmitida

Assim temos a relação de potência recebida e transmitida.

Precebida = 10-1.1 Ptranmitida

Para resolver o problema, basta determinarmos o valor de 10-1.1 e multiplicar pelos 100 mW transmitidos.

Mas calcular um expoente de número decimal é difícil!

Vejamos que 10-1.1 = 10-11/10 = 10√(10-11).

Calcular 10-11 tudo bem, mas quem consegue calcular uma raiz décima na mão?

Se tivéssemos uma calculadora poderíamos verificar que 10-1.1 = 0.079 e que a potência recebida seria de 7.9 mW.

Portanto, a resposta correta é d) 7.9 mW.

Comentários:

  • Como estamos lidando com potência, devemos utilizar a equação de decibéis para potência 10 log10(PR/PT). Quando lidando com tensão ou corrente usamos a equação de decibéis para amplitude 20 log10(AR/AT).

Forma rápida de resolver

O segredo desta questão é não entrar diretamente nos méritos da equação de decibéis.

Existem alguns valores de perdas que conhecemos, alguns exatos e outros aproximados.

Perda Proporção Exatidão
  0dB 1    1    exato
 -3dB 1/2  0.5  aproximado
-10dB 1/10 0.1  exato

Vamos montar uma tabela com os valores de perdas até -11 dB, o qual nos interessa.

                  Potência
Perda Proporção   Recebida
  0dB 1    1      100 [mW]
 -3dB 1/2  0.5     50
 -6dB 1/4  0.25    25
 -9dB 1/8  0.125   12.5
-10dB 1/10 0.1     10
-11dB ?    ?        ?
-12dB 1/16 0.0625   6.25

Ainda não sabemos quanto -11 dB é, mas já sabemos uma faixa de valores que ele pode estar: entre 0.1 e 0.0625. Ou seja, a potência recebida deve ser menor que 10 mW e maior que 6.25 mW. Isso já elimina as alternativas a), b), c).

Sobram as alternativas d) 7.9 mW e e) 9.3 mW.

Poderíamos ainda dizer que 9.3 mW parece muito próximo de 10 mW para ser uma perda de 1 dB. Mas “parece muito próximo de …” não parece um argumento bom o suficiente. Como ter certeza?

Vejamos o seguinte:

Como montamos a tabela?

A cada -3 dB reduzimos a potência a 50%.

A cada -10 dB reduzimos a potência a 10%.

Para passar de -10 dB para -11 dB, precisamos saber qual a redução equivalente a -1 dB.

Existe algum lugar na nossa tabela que mostra uma queda de 1 dB? Veja a diferença de -9 dB para -10 dB. A proporção é de (1/10)/(1/8) = 8/10 = 0.8.

Ou seja, a cada -1 dB reduzimos a potência a 80%.

Dessa forma, para irmos de -10 dB (10 mW recebidos) para -11 dB, basta reduzirmos a potência a 80%, ou seja, a potência recebida será de 8 mW.

Portanto, a resposta correta é d) 7.9 mW, muito próxima do valor calculado.

Comentários:

  • Como estamos lidando com potência, -3 dB = 1/2 = 0.5; -10 dB = 1/10 = 0.1. Quando lidando com tensão ou corrente usamos -3 dB = 1/√2 = 0.707; -6 dB = 1/2 = 0.5; -20 dB = 1/10 = 0.1.

Tabela de decibéis

Agora sabemos que a cada -1 dB reduzimos a potência a 80%.

Podemos atualizar nossa tabela de decibéis memorizados!

Perda Proporção Exatidão
  0dB 1    1    exato
 -1dB 4/5  0.8  aproximado
 -3dB 1/2  0.5  aproximado
-10dB 1/10 0.1  exato

Quando utilizamos esta tabela, primeiro utilizamos -10 dB (que é exato), depois utilizamos -3 dB (menor erro) e só depois utilizamos -1 dB (maior erro), de forma que reduzimos o erro acumulado.

Para vermos a diferença de precisão dos três casos, vamos calcular -30 dB, um valor comum que podemos chegar com cada um dos três.

     Proporção      Erro
10dB 0.13  0.001    ------
-3dB 0.510 0.000976 -2.34%
-1dB 0.830 0.00123  +23.8%

 

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Autor: Djones Boni

Engenheiro Eletricista.

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