Esta questão vem do NC-UFPR, Concurso da Itaipu para Engenharia Eletrônica em 2019.
Questão sobre a corrente que um indutor conduz a partir da tensão aplicada nele.
Questão
45 – Um indutor de 100 mH é correta e diretamente conectado a uma fonte de tensão. O pulso de tensão fornecido pelo sistema para t<0 é 0, e para t>0 é dado pela expressão v(t)=20te-10t V. Assumindo que i=0 para t≤0, assinale a alternativa que apresenta corretamente a corrente no indutor para t>0.
a) -2e-10t A, t>0.
b) 2e-10t A, t>0.
c) 2(1 – 10te-10t – e-10t) A, t>0.
d) 10te-t A, t>0.
e) (20te-5t – e-5t) A, t>0.
Descartando alternativas incoerentes
Esta parte não é essencial para a solução, mas analisando um pouco as alternativas já podemos descartar algumas alternativas. Basta ter um certo conhecimento sobre sinais e sistemas.
O indutor é um elemento linear. Consequentemente não pode distorcer as formas de onda e não pode criar formas de onda que não são suas frequências naturais ou frequências presentes na entrada.
As frequências das quais estamos falando são frequências complexas s=σ+jω, ou seja, exponenciais est=e(σ+jω)t, que estão ligadas diretamente com os polos da transformada de Laplace dos sinais e funções de transferência.
Levando isso em consideração, que só podemos ter na saída as frequências da entrada ou frequências naturais, vamos descartar algumas alternativas.
Na entrada temos a exponencial e-10t, que corresponde a frequência complexa s=-10.
A corrente no indutor é a integral da tensão, que corresponde a exponencial 1=e0t e frequência complexa s=0.
Dessa forma, na corrente do indutor só podemos ter constantes (s=0) e exponenciais e-10t (s=-10).
A alternativa d) possui um termo e-t (s=-1) e a alternativa e) possui termos e-5t (s=-5), e são descartadas.
Solução
A tensão aplicada no indutor é dada e queremos saber a corrente nele.
v(t) = 20te-10t
A corrente no indutor é a integral da tensão. Veja mais sobre indutores no post Indutores.
i(t) = (1/L) ∫-∞t v(t) dt = 10 ∫0t 20te-10t dt = 200 ∫0t te-10t dt
Resolvemos a integral por partes com u=t e v=-0,1e-10t.
∫udv = uv – ∫vdu
∫0t te-10t = -0,1[te-10t]0t + 0,1∫0t e-10t dt = [-0,1te-10t – 0,01e-10t]0t = (-0,1te-10t – 0,01e-10t) – (-0 – 0,01)
∫0t te-10t = 0,01 – 0,1te-10t – 0,01e-10t
Agora, com a integral resolvida, substituímos ela na equação da corrente e simplificamos.
i(t) = 200 ∫0t te-10t dt = 200 (0,01 – 0,1te-10t – 0,01e-10t)
i(t) = 2(1 – 10te-10t – e-10t)
Portanto, a alternativa correta é c) 2(1 – 10te-10t – e-10t) A, t>0.
Comentários:
- Nesta questão saber integrar por partes é essencial.
- Mas podemos descartar duas alternativas incoerentes com as frequências complexas possíveis.
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