Resposta forçada do circuito RL

A resposta forçada de um circuito RL é a resposta a presença de uma fonte, com condições iniciais nulas.

Veremos como determinar a equação diferencial que representa o circuito RL com fonte e, a partir dela, obter a resposta forçada em conjunto com a resposta natural, ou seja, obteremos a resposta completa do circuito.

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Resposta ao degrau do um circuito RL

Para determinar a resposta ao degrau de um circuito RL basta encontrar três informações:

1. A corrente inicial do indutor I₀=i(0);
2. A corrente final do indutor I₁=i(+∞); e
3. A constante de tempo τ=L/R.

A resposta do degrau do circuito RL, para t>0, será a seguinte.

i(t) = I₁ – (I₁ – I₀) e^-t/τ

Determinando a equação diferencial

Vejamos agora como determinar a equação diferencial do circuito RL com fonte e em seguida como resolver ela.

Do circuito RL acima, estamos interessados na corrente no indutor i(t).

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões obtemos a seguinte equação, onde v_S é a tensão da fonte, v_R é a tensão no resistor e v é a tensão no indutor.

v_S – v_R – v = 0

As tensões nos elementos são dadas pelas seguintes equações.

v = L di/dt

v_R = Ri

Substituindo obtemos a equação diferencial do circuito.

di/dt + iR/L = v_S/L

Note o termo da direita que relaciona a fonte de tensão e veja que fazendo v_S=0 obtemos o mesmo circuito e a mesma equação diferencial para o caso da resposta natural (sem fonte).

Resolvendo a equação diferencial

Esta equação diferencial é mais complexa que no caso da resposta natural, sendo difícil resolvê-la por inspeção. Agora utilizaremos uma técnica de resolução de equações de primeira ordem, que consiste em transformar o lado esquerdo da equação diferencial em uma derivada de uma multiplicação de duas funções.

di/dt + iR/L = v_S/L

Multiplicamos a equação diferencial por uma exponencial.

e^atdi/dt + e^atiR/L = e^atv_S/L

Esta exponencial deve fazer os termos da esquerda ser uma derivada de uma função e^atφ(t). Pela regra da diferenciação de uma multiplicação obtemos o seguinte.

d{e^at φ(t)}/dt = e^atdφ(t)/dt + ae^atφ(t)

Comparando esta equação com a anterior podemos ver que φ(t)=i(t) e que a=R/L. Dessa forma temos o seguinte, com τ=L/R.

d{i(t)e^t/τ}/dt = (1/L) e^t/τ v_S(t)

Integrando esta equação, com limites de -∞ a t, e multiplicando por e^-t/τ obtemos a resposta do circuito RL forçada pela fonte v_S(t), onde τ=L/R é a constante de tempo.

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τv_S(t) dt

Resposta completa

Sabemos que a resposta natural de um sistema é a resposta a condições iniciais, sem fontes de excitação externa.

i_natural(t) = I_Oe^-t/τu(t)

Sabemos também que a resposta forçada de um sistema é a resposta a fontes de excitação externa, sem condições iniciais.

i_forçada(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τv_S(t) dt

A resposta completa de um sistema é a resposta do sistema a ambas situações, onde temos tanto a fonte de excitação externa quanto uma condição inicial.

Em sistemas lineares podemos determinar a resposta completa a partir do princípio da superposição, somando as respostas forçada e natural.

i(t) = i_forçada(t) + i_natural(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τv_S(t) dt + I_Oe^-t/τu(t)

Note que considerar condições iniciais I_O=i(0) faz sentido apenas quando v_S(t) é nula para t<0.

Obtendo a resposta ao degrau

Para obter a resposta ao degrau, basta utilizar a equação anterior e substituir v_S(t)=V_Su(t).

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τv_S(t) dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τ{V_Su(t)} dt + I_Oe^-t/τu(t)

A constante V_S pode sair da integral. Como u(t)=0 para t<0, podemos extrair ela para fora da integral e alterar o limite de integração inferior para 0.

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) ∫₀^t e^t/τ dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) (L/R) [e^t/τ]₀^t + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) (L/R) [e^t/τ – 1] + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/R) V_Su(t) [e^t/τ – 1] + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (V_S/R)e^–t/τu(t) [e^t/τ – 1] + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = I_Su(t) – I_Se^–t/τu(t) + I_Oe^-t/τu(t)

Nesta equação, onde I_S=V_S/R, podemos ver claramente a divisão entre a resposta forçada e a resposta natural.

i(t) = I_Su(t) + (I_O – I_S)e^–t/τu(t)

Já nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta de regime permanente e a resposta transitória.

Obtendo a resposta ao impulso

Para obter a resposta ao impulso, basta substituir v_S(t)=.

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τv_S(t) dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τ{V_Sδ(t)} dt + I_Oe^-t/τu(t)

Como δ(t)=0 para t≠0, podemos substituir e^t/τ =1 (valor em t=0). A integral do impulso é o degrau.

i(t) = (e^–t/τ/L) V_S ∫_-∞^t δ(t) dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (V_S/L)e^–t/τu(t) + I_Oe^-t/τu(t)

Nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta forçada e a resposta natural.

O impulso V_Sδ(t) gera um aumento de corrente instantâneo de amplitude V_S/L no indutor. A corrente do indutor decai como na resposta natural.

i(t) = (V_S/L + I_O)e^–t/τu(t)

Já nesta equação podemos ver que a resposta é completamente transitória, ou seja, a resposta de regime permanente é nula.

Obtendo a resposta a rampa

Para obter a resposta a rampa, basta substituir v_S(t)=V_Sr(t)=V_Stu(t).

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τv_S(t) dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τ{V_Stu(t)} dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) ∫₀^t te^t/τ dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) [τe^t/τ(t–τ)]₀^t + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) [τe^t/τ(t–τ) + τ²] + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) (L/R) [e^t/τ(t–τ) + τ] + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (V_S/R)e^–t/τu(t) [e^t/τ(t–τ) + τ] + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = I_S(t–τ)u(t) + I_Sτe^-t/τu(t) + I_Oe^-t/τu(t)

Nesta equação, onde I_S= V_S/R, podemos ver claramente a divisão entre a resposta forçada e a resposta natural.

i(t) = I_S(t–τ)u(t) + (I_Sτ+I_O)e^-t/τu(t)

Já nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta de regime permanente e a resposta transitória.

i(t) = I_st u(t) – I_sτ u(t) + (I_Sτ+I_O)e^-t/τu(t)

Separando a resposta de regime permanente podemos ver ainda que a resposta completa possui três partes: uma rampa, um degrau e uma exponencial. O degrau é chamado de erro em regime permanente.

Obtendo a resposta a exponencial

Para obter a resposta a exponencial, basta substituir v_S(t)=V_Se^-t/αu(t). Note que assumimos α≠τ; tende obter a resposta para α=τ.

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τv_S(t) dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) ∫_-∞^t e^t/τ{V_Se^-t/αu(t)} dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) ∫₀^t e^t(1/τ-1/α) dt + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) [ατ/(α–τ)] [e^t(1/τ-1/α)]₀^t + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (e^–t/τ/L) V_Su(t) [ατ/(α–τ)] [e^t(1/τ-1/α) – 1] + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = (V_S/R)[α/(α–τ)]e^–t/τu(t) [e^t(1/τ-1/α) – 1] + I_Oe^-t/τu(t)

i(t) = I_S[α/(α–τ)][e^-t/α – e^–t/τ] u(t) + I_Oe^-t/τu(t)

Nesta equação, onde I_S=V_S/R, podemos ver claramente a divisão entre a resposta forçada e a resposta natural.

i(t) = I_S[α/(α–τ)]e^-t/αu(t) + (I_O – I_S[α/(α–τ)])e^-t/τu(t)

Já nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta de regime permanente e a resposta transitória.

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